Download PDF by Gisbert Wüstholz: Algebra: Für Studierende der Mathematik, Physik, Informatik

By Gisbert Wüstholz

ISBN-10: 3834819611

ISBN-13: 9783834819611

ISBN-10: 3834886785

ISBN-13: 9783834886781

Dieses Buch ist eine moderne Einführung in die Algebra, kompakt geschrieben und mit einem systematischen Aufbau. Der textual content kann für eine ein- bis zweisemestrige Vorlesung benutzt werden und deckt alle Themen ab, die für eine breite Algebra Ausbildung notwendig sind (Gruppentheorie, Ringtheorie, Körpertheorie) mit den klassischen Fragen (Quadratur des Kreises, Auflösung durch Radikale, Konstruktionen mit Zirkel und Lineal) bis zur Darstellungstheorie von endlichen Gruppen und einer Einführung in Algebren und Moduln. Der textual content wurde für die 2. Auflage vollständig durchgesehen und an vielen Stellen verbessert.

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Die Restriktion ϕ der Additionsabbildung + : G × G → G auf den Untervektorraum H × K ergibt nämlich einen surjektiven Homomorphismus auf G mit Kern {(l, −l); l ∈ H ∩ K}, der offensichtlich isomorph zu H ∩ K ist. 39 gilt (H × K)/ ker ϕ G. Wenn man die aus der linearen Algebra bekannte Tatsache beachtet, dass dim V /V = dim V − dim V gilt, so erhält man für die Dimensionen die Gleichung dim(H + K) = dim G = dim(H × K) − dim ker ϕ = dim H + dim K − dim H ∩ K . Dies ist gerade besagte Dimensionsformel für die Unterräume H, K.

Dann werden e und f so bestimmt, dass ef ≡ 1 (mod ϕ(n)), d. h. f ein multiplikatives Inverses von e in (Z/ϕ(n)Z)× ist. Es gilt dann ef = 1 + lϕ(n) für eine ganze Zahl l. 14 durch Exponentieren von E mit f , da E f ≡ M ef ≡ M 1+ϕ(n)l ≡ M (mod n) . 2 Untergruppen und Homomorphismen Eine nicht-leere Teilmenge H ⊆ G ist eine Untergruppe, falls mit g, h ∈ H auch gh−1 ∈ H ist. Insbesondere ist e ∈ H und mit h auch h−1 in H und daher h ∈ H genau dann, wenn h−1 ∈ H. Mit g, h ∈ H sind dann auch gh = g(h−1 )−1 ∈ H.

Denn ist H = {0}, so gibt es ein minimales n ∈ H mit n > 0. Daher gilt nZ ⊆ H. Um die umgekehrte Inklusion einzusehen, sei m ∈ H. Dann können wir m in der Form m = ln + r für ein 0 ≤ r < n schreiben. Mit m, n ∈ H ist dann aber auch r = m − ln ∈ H. Wegen r < n und der Minimalität von n zieht dies r = 0, d. h. H ⊆ nZ, nach sich. Insgesamt folgt H = nZ. 17 Die alternierende Gruppe ist die Untergruppe An ⊆ Sn der symmetrischen Gruppe, die aus den Elementen σ mit σ · Δ = Δ besteht, wobei (Xi − Xj ) Δ= i

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by Brian
4.3

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